جمع اعداد صحيح


جمع همه اعداد صحيح مثبت تا بينهايت برابر است با 1/12-  !!

محمد طبيبيان

٢٥ اسفند ماه ١٣٩٤

به مناسبت فرارسيدن نوروز مى توان از بحث اقتصاد كمى مرخصى گرفت و به حيطه هاى ديگر سرى زد. اين مطلب كه در نوشته حاضر مطرح مى شود، از حيطه رياضيات، براى من كاملا تازگى داشت كه در سال گذشته با آن بر خورد كردم. 

 آن هم اين كه جمع تمام اعداد مثبت تا بينهايت مى شود منهاى يك دوازدهم! يعنى

1+2+3+4+5+6+........=-1/12

حتما نتيجه عجيبى است و چند وجه عجيب در باره آن وجود دارد. يكى اين كه جمع بينهايت اعداد صحيح، يك عدد مشخص است. ديگرى اين كه جمع اعداد مثبت تا بينهايت يك عدد منفى است و سوم جمع اعداد صحيح تا بينهايت يك عدد كسرى است!
 اين مطلب با يك مقاله در بخش علمى مجله نيويورك تايمز بر اساس يك ويدوئو در يوتيوب از يك خبر نگار و يك فيزيكدان اشاعه يافت و مورد توجه و بحث فراوان قرار گرفت. ماخذ هر دو اين منابع در پايين آمده است. نويسنده نيويورك تايمز، دنيس اوور باى، در شماره مورخ ٣ فوريه ٢٠١٤ مطلبى دارد تحت عنوان 'عاقبت جمع همه مى شود منهاى يك دوازدهم'. او به شوخى مى نويسد؛ بعد از فهم اين مطلب به سرعت خودم و ساعت و كيفم را كنترل كردم كه آيا هنوز وجود داريم يانه؟

مطلب به راستى جالب و حيرت انگيز است و اينطور كه معلوم مى شود سابقه آن به ليون هارد اويلر رياضى دان قرن هجدهم بر مى گردد كه ابتدا آن را اثبات كرد و بعد از او برنهارد ريمان، يك رياضى دان بزرگ ديگر در قرن نوزدهم با استفاده از ابزار تابع زيتا همين نتيجه را نشان داد. هردو اثبات ساده و قابل فهم است و در اينجا اثبات ساده تر را در چند قدم مرور مى كنيم:
مى خواهيم نشان دهيم كه
S=1+2+3+4+5+.....=-1/12

اول جمع دنباله اعداد زير تا بينهايت را مورد توجه قرار مى دهيم،
  
S1=1-1+1-1+1-1+1-1......

جمع اين اعدا تا بينهايت چند است؟ مى دانيم كه اگر تعداد اين اعداد زوج باشد مثلا ده عدد،  جمع آن مى شود صفر. اگر فرد باشد جمع آن مى شود يك. ليكن مسئله اين است كه اين جمع تا بينهايت قرار است ادامه يابد و نه صفر است و نه يك. براى يافتن جواب مى توان از يك فن استفاده كرد، به اين معنى كه اول به همان دنباله اعداد، يك صفر اضافه مى كنيم (كه در جمع تغييرى ايجاد نمى كند)و دنباله جديد را در زير قبلى مى نويسيم به اين نحو،
 S1= 1-1+1-1+1-1+1-1......
 S1=0+1-1+1-1+1-1+1-1........
سپس جمع جبرى دو طرف اين برابرى ها را از طريق جمع نظير به نظير عبارت هاى بالا و پائين محاسبه مى كنيم. ابتدا صفر از رديف پايين با يك از رديف بالا جمع مى شود كه مى شود يك. از آنجا به بعد يك هاى يك رديف با منهاى يك هاى رديف ديگر جمع مى شوند كه مى شود  صفر و اين تا بينهايت ادامه مى يابد. در طرف چپ هم دو برابر كميت اوليه را خواهيم داشت. بنا بر اين 

2S1=1
S1=1/2
دوم، جمع دنباله اعداد زير را مورد توجه قرار مى دهيم
S2=1-2+3-4+5-6+7-8+.....
با استفاده از روش بالا دو برابر اين عبارت را نيز محاسبه مى كنيم
2S2= 1-2+3-4+5-6+7-8....
           0+1-2+3-4+5-6+7.....
2S2=+1-1+1-1+1-1+1-1....
جواب جمع طرف راست را قبلا در قدم اول محاسبه كرده ايم، كه بربر 1/2 است. بنا بر اين

2S2=1/2
S2=  1/4
مرحله سوم،
عبارت مرحله اول يعنى S را از عبارت مرحله دوم S2 كسر مى كنيم

S=1+2+3+4+5+6...
S2=1-2+3-4+5-6...
S-S2=4+8+12+....
S-S2=4(1+2+3+....)=4S
از مرحله دوم مى دانيم كه
S2=1/4
با جايگزينى اين عدد در رابطه بالا  و حل براى S خواهيم داشت
S=-1/12

گرچه يك توضيح ذهنى براى اين نتيجه غير قابل تصور نمى توان ارائه كرد، ليكن طبق مباحثى كه در اطراف اين نكته ارائه شده اين نتيجه در فيزيك كوانتم مورد كاربرد دارد. 
برخى افراد از حيطه رياضى يا فيزيك سعى كرده اند كه اين نتيجه را انكار كنند. ليكن روش اويلر و ريمان كاملا منطقى به نظر مى رسد. 

 براى مثال يك انتقاد بر اساس نوشتن جمع اعداد صحيح از يك تا n به صورت تحليلى است

Sum(i=1,2,3,...n)=n(n+1)/2

و سپس  تعيين حد اين عبارت وقتى n به سمت بينهايت ميل داده شود.  كه در اين صورت عبارت مزبور به سمت بينهايت ميل مى كند و نه منهاى يك دوازدهم. اين استدلال به نظر قابل قبول نيست.  چون در مبحث حد، ما هنوز در حيطه اعداد مشخص قرار داريم. چون ميل دادن n به سمت بينهايت در واقع ميل دادن آن به سمت اعداد بزرگ دلخواه است. بحث اويلر و ديگران در واقع وارد شدن به حيطه و فهم ديگرى از بينهايت است كه با يك عدد بزرگ دلخواه متفاوت است. شايد مفهوم بينهايت چنانكه توسط جورج كانتور رياضى دادن ابتداى قرن بيستم مطرح شد، بهتر با شرايط اينگونه مسائل قابل درك باشد.  
يك ايراد ديگر بر اين مبنا است كه اگر رابطه مرحله اول را دوبار تكرار كنيم، مجددا همان رابطه بدست مى آيد

S1+S1=1-1+1-1+1-1....
بنابر اين
2S1=S1
و بنابر اين به نتايج متناقض مى رسيم. يعنى نتيجه مى گيريم كه عدد دو مساوى است با عدد يك. اينگونه نتيجه گيرى به نظر نا درست است زيرا مطلب بر مى گردد به همان بر داشت از بينهايت. براى مثال مى توان از مفهوم مسافرخانه كانتور (پارادوكس هيلبرت) استفاده كرد. يعنى نتيجه گرفت 

S1=1/2
S1+S1=1/2
S1+S1+....S1=1/2
در اين حالت استدلال بر اساس بر داشت از بينهايت به عنوان صرفا يك عدد بسيار بسيار بزرگ درست در نمى آيد. و باز به نظر اينجانب، به عنوان يك آماتور، مى رسد نتيجه ارائه شده در مورد جمع اعداد صحيح مثبت تا بى نهايت برابر منهاى يك دوازدهم لا اقل از نظر رياضى بدون نقص مشخص است!! 


 
ماخذ


In the End, It All Adds Up to – 1/12

Denise Overbye
3 Feb. 2014

http://www.nytimes.com/2014/02/04/science/in-the-end-it-all-adds-up-to.html?_r=0

http://www.numberphile.com/videos/analytical_continuation1.html




           
 
Comments